Gadījuma lielums ir statistiskā eksperimenta iznākuma skaitlisks apraksts. Nejaušs mainīgais, kas var pieņemt tikai ierobežotu skaitli vai bezgalīgs vērtību secība tiek uzskatīta par diskrētu; tiek teikts, ka tā, kas reālā skaitļa rindā var uzņemt jebkuru vērtību kādā intervālā, ir nepārtraukta. Piemēram, nejaušs mainīgais lielums, kas atspoguļo vienā dienā konkrētā tirdzniecības vietā pārdoto automašīnu skaitu, būtu diskrēts, savukārt nejaušs lielums, kas atspoguļo personas svaru kilogramos (vai mārciņās), būtu nepārtraukts.
Nejauša mainīgā varbūtību sadalījums apraksta to, kā varbūtības tiek sadalītas pa nejaušā mainīgā lielumiem. Diskrētam nejaušam mainīgajam x , varbūtības sadalījumu nosaka varbūtības masas funkcija, ko apzīmē ar f ( x ). Šī funkcija nodrošina varbūtības lielumu katrai nejaušā lieluma vērtībai. Izstrādājot diskrēta nejaušā lieluma varbūtības funkciju, ir jāievēro divi nosacījumi: (1) f ( x ) jābūt negatīvai katrai nejaušā mainīgā vērtībai, un (2) varbūtības summai katrai nejaušā mainīgā vērtībai jābūt vienādai.
Nepārtraukts nejaušs mainīgais var iegūt jebkuru vērtību reālā skaitļa līnijas intervālā vai intervālu kolekcijā. Tā kā jebkurā intervālā ir bezgalīgi daudz vērtību, nav jēgas runāt par varbūtību, ka nejaušais mainīgais iegūs noteiktu vērtību; tā vietā tiek apsvērta varbūtība, ka nepārtraukts nejaušs mainīgais atradīsies noteiktā intervālā.
Nepārtrauktā gadījumā varbūtības masas funkcijas ekvivalents ir varbūtības blīvuma funkcija, ko apzīmē arī ar f ( x ). Nepārtrauktam nejaušam mainīgajam varbūtības blīvuma funkcija nodrošina funkcijas augstumu vai vērtību jebkurā noteiktā x ; tas tieši nedod varbūtību, ka nejaušais mainīgais iegūst noteiktu vērtību. Tomēr laukums zem diagrammas f ( x ), kas atbilst kādam intervālam, kas iegūts, aprēķinot f ( x ) šajā intervālā nodrošina varbūtību, ka mainīgais iegūs vērtību šajā intervālā. Varbūtības blīvuma funkcijai jāatbilst divām prasībām: (1) f ( x ) katrai nejaušā lieluma vērtībai nav jābūt negatīvai, un (2) neatņemama sastāvdaļa Visām nejaušā mainīgā vērtībām jābūt vienādām.
Paredzētā nejaušā lieluma vērtība vai vidējā vērtība, kas apzīmēta ar IS ( x ) vai μ - ir to vērtību vidējais svērtais, kuras nejaušais mainīgais var pieņemt. Diskrētajā gadījumā svarus izsaka varbūtības masas funkcija, bet nepārtrauktā gadījumā - varbūtības blīvuma funkcija. Formulas diskrēto un nepārtraukto nejaušo mainīgo lielumu paredzamo vērtību aprēķināšanai ir dotas attiecīgi ar 2. un 3. vienādojumu.
IS ( x ) = Σ x f ( x ) (divi)
IS ( x ) = ∫ x f ( x ) d x (3)
Gadījuma mainīgā dispersija, ko apzīmē ar Var ( x ) vai σdiviir kvadrāta noviržu no vidējā svērtā vidējā vērtība. Diskrētajā gadījumā svarus izsaka varbūtības masas funkcija, bet nepārtrauktā gadījumā - varbūtības blīvuma funkcija. Formulas diskrēto un nepārtraukto nejaušo mainīgo lielumu aprēķināšanai tiek dotas attiecīgi ar 4. un 5. vienādojumu. The standarta novirze , kas apzīmēts ar σ, ir pozitīvā dispersijas kvadrātsakne. Tā kā standartnovirzi mēra tādās pašās vienībās kā nejaušo mainīgo, un dispersiju mēra kvadrātā, tad ieteicamais mērs bieži ir standartnovirze.
Kur ( x ) = σdivi= Σ ( x - μ)divi f ( x ) (4)
Kur ( x ) = σdivi= ∫ ( x - μ)divi f ( x ) d x (5)
Divi no visplašāk izmantotajiem diskrētajiem varbūtības sadalījumiem ir binomiāls un Puasons. Binomiālās varbūtības masas funkcija (6. vienādojums) nodrošina varbūtību, ka x gadā notiks panākumi n binomālā eksperimenta izmēģinājumi.
Binomiālajam eksperimentam ir četras īpašības: (1) tas sastāv no sekvences n identiski izmēģinājumi; (2) katrā izmēģinājumā ir iespējami divi rezultāti - veiksme vai neveiksme; (3) jebkura izmēģinājuma veiksmes varbūtība, kas apzīmēta lpp , nemainās no tiesas uz tiesu; un 4) izmēģinājumi ir neatkarīgi. Piemēram, pieņemsim, ka ir zināms, ka 10 procentiem divu gadu vecu automašīnu īpašnieku ir bijušas problēmas ar automašīnas elektrisko sistēmu. Lai aprēķinātu varbūtību atrast tieši 2 īpašniekus, kuriem ir bijušas elektriskās sistēmas problēmas no 10 īpašnieku grupas, binomālās varbūtības masas funkciju var izmantot, iestatot n = 10, x = 2, un lpp = 0.1 6. vienādojumā; šim gadījumam varbūtība ir 0,1937.
Puasona varbūtības sadalījumu bieži izmanto kā modeli ienākošo objektu skaitam noteiktā laika periodā. Piemēram, nejaušu mainīgo var definēt kā tālruņa zvanu skaitu, kas 15 minūšu laikā ienākuši aviokompāniju rezervēšanas sistēmā. Ja ir zināms vidējais ierašanās skaits 15 minūšu intervālā, var aprēķināt Puasona varbūtības masas funkciju, kas dota 7. vienādojumā, lai aprēķinātu x ierašanās.
Piemēram, pieņemsim, ka vidējais 15 minūšu laikā saņemto zvanu skaits ir 10. Lai aprēķinātu varbūtību, ka nākamo 15 minūšu laikā ienāk 5 zvani, μ = 10 un x = 5 tiek aizstāti 7. vienādojumā, dodot varbūtību 0.0378.
Statistikā visplašāk izmantotais pastāvīgais varbūtību sadalījums ir normāls varbūtību sadalījums. Grafiks, kas atbilst normālas varbūtības blīvuma funkcijai ar vidējo μ = 50 un standarta novirzi σ = 5, parādīts. Tāpat kā visi parastā sadalījuma grafiki, tā ir zvana formas līkne. Normālā varbūtības sadalījuma varbūtības var aprēķināt, izmantojot statistikas tabulas standarta normālajam varbūtības sadalījumam, kas ir normāls varbūtības sadalījums ar nulles vidējo un vienas standartnovirzi. Lai pārveidotu jebkuru vērtību no normāla varbūtības sadalījuma ar vidējo μ un standartnovirzi σ, tiek izmantota vienkārša matemātiska formula atbilstošā normālā sadalījuma vērtībā. Pēc tam standarta normālā sadalījuma tabulas tiek izmantotas, lai aprēķinātu atbilstošās varbūtības.
kad Pāvils kļuva par apustuli
normāls varbūtības sadalījums 3. attēls: normāls varbūtības sadalījums ar vidējo ( μ ) 50 un standarta novirze ( σ ) no 5. Encyclopædia Britannica, Inc.
Ir daudz citu diskrētu un nepārtrauktu varbūtību sadalījumu. Citi plaši izmantoti diskrēti sadalījumi ietver ģeometrisko, hipergeometrisko un negatīvo binomu; citi bieži izmantotie nepārtrauktie sadalījumi ietver vienotu, eksponenciālu, gamma, chi-square, beta, t un F.
